Spazio-tempo.html

Diagramma spaziotempo.

Per spaziotempo (indicato anche come spazio-tempo o cronotopo) si intende uno spazio quadridimensionale, composto dall'usuale spazio a 3 dimensioni con il tempo come coordinata aggiuntiva.

Lo spazio-tempo è quindi un concetto fisico che combina le nostre classiche nozioni tradizionalmente distinte di spazio e di tempo in un solo costrutto unico e omogeneo. L'introduzione dello spazio-tempo è una conseguenza diretta della teoria della relatività ristretta che stabilisce un'equivalenza fra lo spazio e il tempo.

Così come nella nostra visione classica dello spazio le sue tre dimensioni componenti (avanti-dietro, destra-sinistra e alto-basso) sono equivalenti e omogenee fra loro e relative all'osservatore (ciò che viene considerato avanti o dietro da un osservatore può essere considerato destra o sinistra da un altro osservatore disposto diversamente), la visione relativistica assimila anche la dimensione temporale (prima-dopo) alle tre dimensioni spaziali, rendendola percepibile in modo diverso da osservatori in condizioni differenti.

I punti dello spaziotempo sono detti eventi e ciascuno di essi corrisponde ad un fenomeno che si verifica in una certa posizione spaziale e in un certo istante. Ogni evento è perciò individuato da quattro coordinate. In genere, per visualizzare le coordinate spaziali si usano tre coordinate cartesiane determinate dalla scelta di una terna di riferimento ortogonale; esse si possono denotare con le tre lettere diverse x, y e z oppure con le lettere dotate di indici (o deponenti, o pedici) $\,x_1, x_2, x_3\,$ . Nel primo caso la coordinata temporale si indica con t, nel secondo con $\,x_0\,$ . Le coordinate con indici hanno il vantaggio formale di consentire l'uso di indici correnti e quindi di espressioni sintetiche. Di solito per un indice che corre solo nelle dimensioni spaziali 1, 2 e 3 si usano lettere come i, j e k, mentre per gli indici spaziotemporali che corrono da 0 a 3 si usano lettere greche. Inoltre quando si studiano sistemi particolari (ad es. dotati di determinate simmetrie), per le dimensioni spaziali, invece delle coordinate cartesiane risulta conveniente usare ora le coordinate sferiche, ora le coordinate cilindriche, ora altre.

Se immaginiamo di osservare tutto lo spaziotempo dell'universo nella sua interezza, immaginando dunque di "uscirne fuori" per guardarlo, esso assomiglia, per ricorrere ad un utile metafora, ad un filone di pane o a un lungo fiume completamente ghiacciato, nel quale ci sono le linee d'universo degli oggetti: la lunghezza è la dimensione temporale; per lo spessore e la larghezza ci sono gli eventi così come sono disposti nello spazio. Ricordiamoci che noi qui vediamo tutto lo spaziotempo, e dunque tutto lo spazio esistente e tutto il tempo (perlomeno del nostro universo - vedi Dimensione parallela e Multiverso), sia trascorso che futuro. Inoltre l'analogia precedente ha un errore di fondo (al quale però è impossibile ovviare): ogni fetta di un vero filone di pane, se si trascura la profondità (la "lunghezza" del filone), ha solo due dimensioni, mentre una "fetta" dello spaziotempo, se si trascura il tempo (allo stesso modo della profondità) comprende tutt'e tre le dimensioni spaziali. La "visione" immaginaria e "in contemporanea" di tutto lo spaziotempo esistente è detta dai fisici e dai filosofi visione "in blocco" dello spaziotempo o anche continuum spazio-temporale.

Indice

1 I concetti di spazio e tempo
2 Le trasformazioni di Galileo
3 Le trasformazioni di Lorentz
4 Teoria della Relatività
- 4.1 Spaziotempo di Minkowski
5 Lo spaziotempo è quantizzato?
6 Spazio-tempo e topologia
7 Voci correlate

modifica I concetti di spazio e tempo

Fino alla Teoria della relatività di Einstein (speciale e generale), il tempo era concepito come assoluto e spesso distaccato dal mondo fisico. Sant'Agostino lo definiva come "la misura del movimento". Empiricamente tale è: nella frase "andavo a cento all'ora per trovar la bimba mia" (Gianni Morandi), un'ora è l'entità del movimento che è necessario per percorre cento chilometri. Lo spazio, inoltre, era regolato dalla geometria euclidea. In tale geometria, l'invariante fondamentale è la distanza tra due punti $P^{(1)}=(x^{(1)}_{\,1}, x^{(1)}_{\,2},x^{(1)}_{\,3})$ e $P^{(2)}=(x^{(2)}_{\,1}, x^{(2)}_{\,2},x^{(2)}_{\,3})$ , ovvero il suo quadrato:

${\Delta s}^2 \,:=\, {\Delta x}^2 + {\Delta y}^2 + {\Delta z}^2 = \sum_{i=1}^3 {\Delta x_i}^2 \quad con \quad \Delta x_i := {x^{(2)}}_i - {x^{(1)}}_i$ .

Si chiede che questa grandezza non cambi quando vengono applicate le trasformazioni cartesiane:

$x'_i = a_i + x_i \quad i=1,2,3$ .

In parole semplici, nella geometria euclidea e nella fisica pre-relativistica la lunghezza di un oggetto non cambia quando questo si sposta nello spazio.

modifica Le trasformazioni di Galileo

Per approfondire, vedi la voce Trasformazioni galileiane.

Nello spazio fisico tutte le direzioni spaziali sono equivalenti (si dice che lo spazio fisico è isotropo). Con la nascita della meccanica classica si è cercato di capire come variassero le leggi fisiche al variare del punto d'osservazione e degli spostamenti relativi dei due sistemi di riferimento. Un problema di grande importanza è quello dell'invarianza delle leggi fisiche in seguito a cambi di sistemi di riferimento.

Nelle trasformazioni galileiane si prende in considerazione un caso estremamente semplice: si considera un sistema inerziale K, ovvero un sistema in cui le leggi della fisica sono espresse nella forma più semplice, e un sistema K che, senza ruotare, si muove di moto uniforme rispetto a K; anche K potrà essere, quindi, considerato sistema inerziale.

Per scrivere le trasformazioni, si partiva da 2 assiomi fondamentali:

il tempo è assoluto, ovvero il tempo t misurato rispetto a K è il medesimo di quello t misurato in K e relativo al medesimo evento;
la lunghezza è assoluta: un intervallo s in quiete, rispetto a K, ha la stessa lunghezza di s misurato in K', in moto rispetto a K.

Ponendo gli assi dei due sistemi paralleli è semplice determinare la così detta trasformazione di Galileo:

$\left\{\begin{matrix} {x'}_i = x_i - a_i - b_i t \\ t' = t - b \end{matrix}\right.$ ,

da cui è semplice ricavare che:

$\frac {\operatorname{d}^2 x'_i}{\operatorname{d} t^2} = \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d} t} \left ( \frac {\operatorname {d} x_i}{\operatorname {d} t} - b_i \right ) = \frac {\operatorname {d}^2 x_i}{\operatorname {d} t^2}$

e per la distanza tra due punti differenti:

${x'^{(1)}}_i - {x'^{(2)}}_i \,=\, {x^{(1)}}_i - {x^{(2)}}_i$

modifica Le trasformazioni di Lorentz

Per approfondire, vedi la voce Trasformazioni di Lorentz.

Alla prova dei fatti, tali trasformazioni furono considerate valide per molto tempo, almeno fino agli studi sull'elettromagnetismo. Il grave problema della relatività galileiana è che, mentre le leggi della meccanica classica sono invarianti per trasformazioni galileiane, lo stesso non vale per le Equazioni di Maxwell, che riassumono in sè tutto l'elettromagnetismo. Inoltre evidenze sperimentali (come il famoso esperimento di Michelson-Morley), sul finire del XIX secolo misero in crisi l'idea di sistemi di riferimento assoluti (vedi etere).

Le trasformazioni di Lorentz propriamente dette sono un sistema di equazioni che, inserendo la velocità della luce c, danno il modo corretto in cui cambia il moto in un sistema di riferimento in moto rispetto ad uno fisso. Il caso più semplice di trasformazione è quella in cui il moto di un sistema si sviluppa solo ed esclusivamente lungo un asse particolare, ad esempio quello x:

$\left\{\begin{matrix} t' = \frac {t - \frac {v}{c^2} x}{\sqrt {1 - \frac {v^2}{c^2}}} \\ x' = \frac {x - vt}{\sqrt {1 - \frac {v^2}{c^2}}} \\ y' = y \\ z' = z \end{matrix} \right.$

Queste trasformazioni fanno sì che le equazioni di Maxwell restino invarianti in qualsiasi sistema di riferimento (inerziale) vengano applicate (invarianza che viene invece persa per le equazioni di Newton), ma per non abbandonare l'idea dell'etere (e quindi di tempo e spazio assoluti) si costruirono varie ipotesi ad hoc, come la contrazione delle distanze sperimentali in direzione del moto dell'osservatore rispetto all'etere, oppure il suo trascinamento da parte della Terra nei suoi moti di rivoluzione.

modifica Teoria della Relatività

Per approfondire, vedi la voce Relatività ristretta.

Le trasformazioni suddette compaiono invece alla base della teoria della Relatività ristretta di Albert Einstein, come diretta conseguenza degli assiomi di costanza della velocità della luce c e dell'invarianza delle leggi fisiche in seguito a cambi di sistemi di riferimento (inerziali).

Con l'accettazione da parte della comunità scientifica della teoria della relatività è stato demolito il concetto di spazio e di tempo assoluti e separati l'uno dall'altro, mentre ha preso il suo posto il concetto di spaziotempo, nel quale non c'è un sistema di riferimento privilegiato e per ogni evento le coordinate spaziali e temporali sono legate tra di loro in funzione dello spostamento relativo dell'osservatore. Con l'assenza di un tempo assoluto, anche il concetto di contemporaneità è stato modificato dall'avvento della relatività.

modifica Spaziotempo di Minkowski

Per approfondire, vedi la voce Spaziotempo di Minkowski.

Come detto, l'usuale spazio euclideo può essere definito a partire dall'invariante della distanza:

Δs² = Δx² + Δy² + Δz²

In precedenza, il tempo era considerato un invariante e non poteva essere sommato alle tre dimensioni spaziali. Con la teoria della relatività speciale, nel momento in cui si iniziano a prendere in considerazione alte velocità ciò non è più vero. L'invariante non è più il tempo, ma l'insieme di spazio-tempo.

Con gli assiomi della relatività einsteiniana, e in particolare con l'assunto della costanza della velocità della luce, ad essere invariante è, a questo punto, la distanza percorsa dalla luce in un dato intervallo temporale Δt (ammesso che l'intervallo di tempo sia l'intervallo di tempo proprio, ovvero quello misurato rispetto al sistema di riferimento solidale con l'evento):

Δs = c Δt

e quindi

Δs² = Δx² + Δy² + Δz² = c²Δt²

I nuovi vettori, che fanno parte di un continuo a quattro dimensioni, sono quindi tali per cui:

Δx² + Δy² + Δz² - c²Δt² = invariante relativistico

Si possono, quindi, utilizzare due convenzioni: o si assegna il segno positivo al quadrato del tempo e quello negativo a quello dei vettori spaziali, o viceversa; l'importante è che i due quadrati, temporale e spaziale, siano opposti in segno. È rilevante notare che l'introduzione di una coordinata temporale negativa non comporta problemi matematici o contraddizioni teoriche.

Con l'ultima equazione, viene calcolata la velocità della luce, nella teoria della relatività ristretta. Nella relatività generale, l'equazione viene generalizzata con il calcolo dell'elemento di spazio-tempo infinitesimo $d s$ , tenendo conto di un campo gravitazionale variabile in funzione dello spazio-tempo.

Si tratta del tensore fondamentale covariante, che Einstein chiama anche espressione invariante del quadrato di elemento lineare.

modifica Lo spaziotempo è quantizzato?

La ricerca attuale è concentrata sulla natura dello spaziotempo alla scala di Planck. La teoria della gravitazione quantistica a loop, la teoria delle stringhe e la termodinamica dei buchi neri predicono tutte uno spaziotempo quantizzato, con accordo sull'ordine di magnitudine. La teoria della gravità a loop fa addirittura delle predizioni precise sulla geometria dello spaziotempo alla scala di Planck.

modifica Spazio-tempo e topologia

Secondo Einstein, lo spazio-tempo è un continuo a quattro dimensioni, che nel modello ciclico dell'universo di Friedman ha forma di ipersfera $S 4$ . Se lo spazio-tempo è un'ipersfera ad esponente pari, ha una caratteristica di Eulero-Poincaré $χ = 2$ , e possiede almeno una singolarità polare (ossia di ordine 1). Da considerazioni geometriche, diviene prevedibile il Big Bang, una singolarità polare dello spazio-tempo.

La caratteristica di Eulero-Poincarè è pari alla somma algebrica degli ordini di singolarità dei punti che servono a reticolare una superficie chiusa.

Per reticolare una superficie si usano dei quadrati, per un oggetto tridimensionale si usano dei cubi. Generalizzando ad n dimensioni, si utilizzano degli ipercubi.

L'ordine di singolarità di un reticolo (costruito a partire da uno di questi punti) è pari all'angolo di rotazione (positivo o negativo) che compie un'autovettore orientato (freccia), rapportato a 360°. Se un oggetto topologico ha una caratteristica di Eulero pari a 2, esso possiede almeno una singolarità di ordine 1, un polo.

modifica Voci correlate

Teoria della Relatività
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