Forza conservativa.html

Un campo di forze si dice conservativo se risponde alle seguenti condizioni:

il lavoro compiuto da una forza dipende dal punto di partenza e dal punto di arrivo ma non dalla traiettoria seguita.
il lavoro su di un corpo che percorre una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo:

$\oint_{\gamma} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{s} = 0$

Una condizione più generale è l'esistenza di un campo scalare U(r) (energia potenziale) tale che il lavoro compiuto su un corpo in moto da A a B sia uguale a:

$\int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{s} = U(A) - U(B) = - \Delta U$

Si può dimostrare che le tre condizioni si implicano a vicenda:

2 ⇒ 1:

Se il corpo si muove da un punto A ad un punto B e poi ritorna in A su un percorso diverso, il lavoro totale è nullo per ipotesi, perciò L₁ = - L₂. Quindi il lavoro sul percorso 1 deve essere uguale al lavoro sul percorso 2.

1 ⇒ 3:

Posto U(r = 0) = 0 per r = 0 scelto arbitrariamente, possiamo porre ∀ A U(A) = L(O→ A) poiché, per ipotesi, il lavoro è uguale su tutti i percorsi tra O e A. Preso un altro punto B possiamo calcolare L(B→ A) considerando un percorso passante per O: L (B→ A)=-L(B→ O)+L(O→ A)=-U(B)+U(A).

3 ⇒1:

L(A→ A)=U(A)-U(A)=0

Oltre alle definizioni integrali date sopra, si può dare una definizione differenziale di forza conservativa, esplicitando la dipendenza in coordinate cartesiane, del lavoro infinitesimo:

$dL = \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{s} = F_x \operatorname{d}x + F_y \operatorname{d}y + F_z \operatorname{d}z = - dU$

come un differenziale esatto. Ciò significa che deve valere l'uguaglianza:

$F_x \operatorname{d}x + F_y \operatorname{d}y + F_z \operatorname{d}z = - \left (\frac {\partial U}{\partial x} \operatorname{d}x + \frac {\partial U} {\partial y} \operatorname{d}y + \frac {\partial U} {\partial z} \operatorname{d}z \right)$

Questo impone che:

$\begin{cases}F_x = -\frac {\partial U} {\partial x} \\ F_y = -\frac {\partial U} {\partial y} \\ F_z = -\frac {\partial U} {\partial z}\end{cases}$

Introducendo l'operatore differenziale gradiente, si ha che

$\mathbf{F} = -\nabla U = -\operatorname{grad}\,U$ .

A livello microscopico tutte le forze sono conservative.

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