Flusso.html

In matematica, il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata è definito come l'integrale del prodotto scalare del campo con il versore normale della superficie, esteso su tutta la superficie stessa. In fisica il flusso di una data grandezza fisica è usato in presenza di fenomeni di trasporto (le grandezze coinvolte possono essere per esempio il calore o la massa) e rappresenta la quantità della grandezza che attraversa una data superficie.

Si ricorda che una qualsiasi superficie S può essere orientata attribuendo ad ogni elemento di superficie infinitesimo dS un versore $\hat n$ ad esso perpendicolare, secondo la convenzione della mano destra; si può pertanto definire la superficie infinitesima orientata $\vec{\mbox{d}S}=\hat n \mbox{d}S$ .

modifica Definizione di Flusso

L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione.

Si definisce flusso infinitesimo, o elementare, di un campo F attraverso una superficie dS:

$\mbox{d}\Phi=\vec F \cdot \vec {\mbox{d}S}=\vec F \cdot \hat n \, \mbox{d}S$

mentre il flusso vero è proprio è dato dal suo integrale, esteso su una superficie S:

$\Phi=\int_S \vec F \cdot \vec {\mbox{d}S}=\int_S \vec F \cdot \hat n \, \mbox{d}S$

esplicitando il prodotto scalare nel flusso elementare si ottiene:

$\mbox{d}\Phi=F \, \mbox{d}S \cos{\alpha}$

dove α è l'angolo compreso tra $\vec F$ e la normale $\hat n$ . Appare chiaro che il flusso elementare è uguale a zero se l’angolo tra $\vec F$ e $\hat n$ è 90°, cioè se i due vettori sono perpendicolari; il flusso elementare è invece massimo o minimo se $\vec F$ è parallelo e diretto rispettivamente nello stesso verso o in verso opposto rispetto alla normale, cosa che accade quando l'angolo α è pari a 0° oppure 180°.

modifica Esempi di applicazione

Il termine flusso deriva originariamente dall'idrodinamica, con riferimento alla portata; tuttavia il flusso è un concetto matematico e non rappresenta necessariamente il passaggio di energia o di materia. Spesso gli integrali di flusso sono impiegati assieme ad altri importanti risultati matematici di analisi vettoriale, quali il teorema della divergenza e il teorema del rotore, che spesso permettono il calcolo di un flusso senza doverlo svolgere esplicitamente.

Alcune grandezze fisiche (necessariamente vettoriali) delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il campo gravitazionale ed il campo elettrico: il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal teorema di Gauss, per via della loro particolare struttura. Nel caso del campo magnetico il flusso attraverso una superficie chiusa è invece identicamente nullo (si dice che il campo magnetico è solenoidale).

modifica Trasporto di materia

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi continui (ad esempio, liquidi e gas). Prendiamo una superficie infinitesima $d Σ$ nello spazio: intendiamo calcolare il volume $d v$ di fluido che transita attraverso quella superficie nella direzione $\hat n$ , nel tempo $d t$ . Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità $\vec v$ , $d v$ è dato semplicemente dal volume del solido che ha $d Σ$ come base e $\vec v dt$ come altezza, cioè

$dv = d \Sigma \hat n \cdot \vec v \mbox{d}t$

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con $\hat n$ , negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso $d Σ$ è nullo, come è logico aspettarsi. Se si assegna al fluido, ad esempio, una densità di carica elettrica $ρ$ , la carica che attraversa la superficie infinitesima in $d t$ , su unità di tempo, sarà

$\rho \frac{dv}{dt}$

cioè $\vec J \cdot d \Sigma\hat n$ , dove $\vec J = \rho \vec v$ è la densità di corrente elettrica.

Un discorso simile vale per la massa, o per altre grandezze simili; in idrodinamica addirittura la densità di corrente, riferendosi al volume fisico di liquido che scorre attraverso una data sezione, coincide con la velocità e prende il nome di portata volumetrica (rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo). La quantità di carica, di massa etc. che attraversa una qualunque superficie finita nel tempo $d t$ (sempre su unità di tempo), si ottiene sommando i singoli contributi, cioè facendo il flusso della densità di corrente su quella superficie: ad esempio, sempre in fluidodinamica, la portata di massa, cioè la massa di fluido che transita attraverso la S superficie nell'unità di tempo, è data da:

$Q_M = \int_S \rho \vec v \cdot \hat n \mbox{d}S$

dove ρ rappresenta la densità del fluido. Si nota che se quest'ultima è in ogni punto costante nel tempo, per la legge di conservazione della massa la portata attraverso una qualunque sezione del tubo è costante: ciò implica che il flusso di $\rho \vec v$ attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre nullo.

modifica Elettrodinamica

Un importante esempio nell'ambito dell'elettrodinamica è quello del vettore di Poynting, definito come il prodotto vettoriale dei vettori di campo elettrico e campo magnetico di un'onda elettromagnetica. Esso ha le dimensioni di un watt per metro quadro ed il suo flusso attraverso una superficie indica l'energia elettromagnetica trasportata dall'onda elettromagnetica per unità di tempo attraverso la superficie stessa:

$W=\int_S \vec E \wedge \vec H \cdot \hat n \mbox{d}S$

modifica Conduzione termica

Un altro importante esempio di flusso è la legge di Fourier, legato al fenomeno della conduzione termica, che esprime il flusso di calore attraverso una superficie:

$\frac{\partial Q}{\partial t} = - \int_S \left( \mathbf{k_{\mu\nu}} \vec \nabla T \right) \cdot \hat n \text{d}S$

dove $\mathbf{k_{\mu\nu}}$ rappresenta il tensore di conducibilità termica e $\vec \nabla T$ è il gradiente della temperatura in funzione della posizione.

modifica Il concetto di flusso in astronomia

Gli astronomi usano il flusso per denotare la luminosità apparente di un corpo celeste. La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una stella, al di sopra dell'atmosfera terrestre, in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che la luminosità apparente è semplicemente il flusso ricevuto dalla stella.

Figura 1

Il flusso misura il tasso di scorrimento dell'energia che passa ogni secondo attraverso un centimetro quadrato (o una qualsiasi area unitaria) della superficie di un oggetto. Il flusso misurato dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia. Ciò accade in quanto l'energia deve distribuirsi entro un certo volume di spazio prima di raggiungerci. Supponiamo di avere un pallone immaginario che racchiuda una stella. Ogni punto sul pallone rappresenta un'unità di energia emessa dalla stella. Inizialmente, i punti in un'area di un centimetro quadrato sono assai vicini tra loro, e il flusso (energia emessa per centimetro quadrato per secondo) è alto.

Dopo aver percorso una distanza d, il volume e la superficie del pallone sono aumentati, facendo sì che i punti si sparpaglino allontanandosi l'uno dall'altro. Di conseguenza, il numero di punti (l'energia) contenuti in un centimetro quadrato è diminuito, come illustrato in figura 1.

Il flusso è inversamente proporzionale alla distanza secondo una semplice legge dell'inverso del quadrato. Perciò, se la distanza raddoppia noi riceviamo $(1 / 2) 2 = (1 / 4)$ del flusso originario. In termini di grandezze fondamentali, il flusso è la luminosità per unità di area.

$\Phi = \frac {L}{A} = \frac {L}{4 \, \pi \, R^2}$

dove $4 \cdot \pi \cdot R^2$ è l'area di una sfera di raggio R. Il flusso si misura in watt/m²/s, oppure, come comunemente fanno gli astronomi, in erg/cm²/s. Per esempio, la luminosità del Sole è L = 3,90 · 10²⁶ W. Sarebbe a dire che in un secondo il Sole irradia 3,90 · 10²⁶ J di energia nello spazio. Ne consegue che il flusso ricevuto attraverso un centimetro quadrato alla distanza di un'UA (1,496 · 10¹³ c m) è:

$\Phi = \frac {L}{4 \, \pi \, R^2} = \frac {3{,}90 \cdot 10^{26}}{4 \pi \left ( 1{,}496 \cdot 10^{13} \right )^2} = 0{,}14 \ \mathrm{J/cm^2/s}$

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