Equazione differenziale alle derivate parziali.html

In matematica, e in particolare nell'analisi, una equazione differenziale alle derivate parziali o più semplicemente una equazione alle derivate parziali (EDP), è una equazione differenziale che coinvolge derivate parziali di una funzione incognita in più variabili indipendenti. L'idea è di descrivere la funzione indirettamente attraverso una relazione fra sé stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale - deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione (in senso classico) dell'equazione è una funzione, che possieda tutte le derivate necessarie per dare senso alla relazione e che la verifichi puntualmente.

Le EDP sono comunemente usate per formulare e risolvere problemi quali la propagazione del suono o del calore, in elettrostatica, elettrodinamica, meccanica dei fluidi, aerodinamica, elasticità, meccanica quantistica, relatività. Vi sono importanti applicazioni alla geometria differenziale in connessione con le diverse nozioni di curvatura. Recentemente EDP sono state usate con successo per descrivere modelli matematici in biologia e medicina come modelli di dinamica delle popolazioni, crescita di cellule nei tumori e chemiotassi. Altre applicazioni recenti riguardano i modelli matematici dei mercati finanziari in particolare viene descritta la dinamica di opzioni, celebre è la formula di Black e Scholes. Per una EDP possono essere studiati svariati problemi che dipendono dalla natura stessa della equazione. Per esempio nelle equazioni classiche della fisica matematica vengono prescritte delle condizioni al bordo, se il dominio ha una frontiera o delle condizioni ai limiti se consideriamo domini infiniti. Qualora, come nel caso della equazione del calore o della equazione delle onde, una delle variabili sia il tempo allora ha senso prescrivere anche dei dati iniziali e studiare il problema di Cauchy.

In tale caso il problema è ben posto se si ha esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati (al contorno o iniziali).

modifica Notazione ed esempi

Nelle teoria delle EDP, se indichiamo con u la funzione incognita , la sua derivata parziale rispetto alla variabile x viene indicata con la notazione abbreviata u_x , cioè:

$u_x = {\part u \over \part x}$

$u_{xy} = {\part^2 u \over \part x\, \part y}$

Nella tradizione anglosassone si preferisce l'uso dell'operatore nabla, che viene formalmente trattato come il campo vettoriale: $\nabla=(\part_x,\part_y,\part_z)$ , per esempio:

$\begin{align} \nabla F &= \mathrm{grad} F \\ \nabla \cdot \vec F &= \mathrm{div} \vec F \\ \nabla \times \vec F &= \mathrm{rot} \vec F \end{align}$

Nella tradizione della fisica matematica le derivate rispetto al tempo vengono talvolta indicate con $\dot u$ .

L'equazione è detta di ordine q se q è l'ordine massimo delle derivate che vi compaiono. Se l'equazione dipende linearmente dall'incognita u e dalle sue derivate è detta lineare. Nel caso in cui le derivate di ordine massimo compaiano solo linearmente (con coefficienti che possono dipendere dalle derivate di ordine inferiore), l'equazione è detta quasi-lineare. Un'equazione quasi-lineare i cui coefficienti sono solo funzione delle variabili indipendenti (ma non dipendono dalla soluzione u) è detta semi-lineare. Infine un'equazione è detta omogenea se non compaiono termini indipendenti dalla funzione incognita u.

modifica Equazione di Laplace

Per approfondire, vedi la voce Equazione di Laplace.

Una equazione differenziale alle derivate parziali molto importante e basilare è l'equazione di Laplace:

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0 \!$

nella funzione incognita u(x,y,z). Le soluzioni di questa equazione, note come funzioni armoniche, si sono usate in fisica come potenziali di campi vettoriali, ad esempio campi gravitazionali o elettrostatici. Assumono inoltre rilevanza anche nella scienza delle costruzioni, ad esempio per il caso della torsione nella trave di de Saint Venant.

Una delle generalizzazioni dell'equazione di Laplace è l'equazione di Poisson:

$u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f \!$

dove f(x,y,z) è una funzione data. Le soluzioni di questa equazione descrivono potenziali di campi gravitazionali e elettrostatici in presenza di masse o cariche elettriche, rispettivamente.

modifica Equazione delle onde

Per approfondire, vedi la voce Equazione delle onde.

L'equazione delle onde è un'equazione nella funzione incognita u(x,y,z,t) (dove consideriamo t come variabile tempo) che si scrive:

$u_{tt} = c^2( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \!$

Le sue soluzioni descrivono onde come il suono o le onde luminose; c è un numero che rappresenta la velocità dell'onda. In una e due dimensioni, questa equazione descrive le vibrazioni di una corda o di un tamburo. Le soluzioni sono in genere combinazioni di onde sinusoidali oscillanti.

modifica Equazione del calore

Per approfondire, vedi la voce Equazione del calore.

L'equazione del calore descrive l'evoluzione nel tempo della temperatura di una data regione. Ha la forma:

$u_t = \alpha ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \!$

Le soluzioni in genere si "livellano" con il tempo. Il termine 'α' descrive la diffusività termica del materiale.

modifica Equazione di Eulero-Tricomi

L'equazione di Eulero-Tricomi è usata per studiare i flussi transonici. Ha la forma

$u_{xx}=xu_{yy} \!$

modifica Equazione di avvezione

L'equazione di avvezione descrive il trasporto di una quantità scalare costante ψ in un campo di velocità u = (u, v, w). Ha la forma:

$\psi_t+(u\psi)_x+(v\psi)_y+(w\psi)_z=0. \!$

Se il campo di velocità è solenoidale (vale a dire, $\nabla\cdot{\bold u}=0$ ), allora l'equazione può essere semplificata in

$\psi_t+\psi_x.u+\psi_y.v+\psi_z.w=0. \!$

L'equazione di avvezione a flusso costante in una dimensione ψ_t + u ψ_x = 0 (dove u è costante) è comunemente indicata come il problema del porcile. Se u non è costante e uguale a ψ l'equazione è indicata come equazione di Burgers.

modifica Equazione di Ginzburg-Landau

L'equazione di Ginzburg-Landau si trova in un grande numero di applicazioni. Ha la forma

$iu_t+pu_{xx} +q|u|^2u=i\gamma u \!$

dove $p,q\in\mathbb{C}$ e $\gamma\in\mathbb{R}$ sono costanti e $i$ è l'unità immaginaria.

modifica Equazioni di Dym

L'equazione di Dym è chiamata così in onore di Harry Dym e si incontra nello studio dei solitoni. Ha la forma

$u_t = u^3u_{xxx}. \!$

modifica Altri esempi

L'equazione di Schrödinger è una EDP fondamentale per la meccanica quantistica non relativistica. Nell'approssimazione WKB è invece l'equazione di Hamilton-Jacobi.

Eccetto per le ultime due e per l'equazione di Burgers, tutte le equazioni precedenti sono lineari, nel senso che possono essere scritte nella forma Au = f dati un determinato operatore lineare A e una determinata funzione f. Altre importanti equazioni non lineari sono le equazioni di Navier-Stokes che descrivono il flusso dei fluidi, e le equazioni di campo della relatività generale di Einstein.

modifica Metodi per risolvere le EDP

Le EDP lineari in genere sono risolte, quando possibile, decomponendo l'equazione secondo una base di funzioni, risolvendo le equazioni così ottenute singolarmente e usando la sovrapposizione per trovare la soluzione corrispondente alle condizioni al contorno. Il metodo di separazione delle variabili è applicabile in molti casi particolari importanti.

Non esistono metodi generali per risolvere le EDP. Ciononostante risultati di esistenza e unicità (come il teorema di Cauchy-Kovalevskaya) sono spesso possibili, così come prove di importanti proprietà quantitative e qualitative delle soluzioni (trovare questi risultati è la parte più importante dell'analisi).

Tuttavia, alcune tecniche possono essere usate per diversi tipi di equazioni. Il principio di omotetia è il metodo più potente per risolvere le equazioni sottodeterminate. La teoria di Riquier-Janet è un metodo effettivo per ottenere informazioni su molti sistemi analitici sovradeterminati.

Il metodo delle caratteristiche può essere usato in alcuni casi molto particolari per risolvere le equazioni alle derivate parziali.

In alcuni casi, una EDP può essere risolta attraverso l'analisi delle perturbazioni, nella quale la soluzione è considerata come una correzione di un'equazione con una soluzione nota. Le alternative sono le tecniche di analisi numerica, dai semplici schemi di differenze finite ai più maturi metodi multigrid e di elementi finiti. Molti problemi interessanti in scienza e ingegneria vengono risolti in questo modo usando computers, e talvolta supercomputers molto potenti. Comunque, molti problemi in scienza e ingegneria vengono affrontati usando calcoli scientifici piuttosto che l'analisi numerica, siccome in genere non è noto se il metodo numerico produca soluzioni vicine a quella reale.E comunque bene sottolineare che la via numerica è spesso l'unica strada percorribile per trovare soluzioni, seppur approssimate, di molti problemi di matematica applicata.

modifica Classificazione

Le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, e i sistemi di EDP (in inglese PDE), del secondo ordine, sono generalmente classificati come parabolici, iperbolici o elittici. Questa classificazione permette una comprensione intuitiva del comportamento del sistema stesso. L'EDP del secondo ordine generica ha la forma

$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0,$

che assomiglia notevolmente all'equazione di una sezione conica:

$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.$

$B$ ha un coefficiente di 2 dovuto all'assunzione di commutatività delle derivate parziali nel primo caso, e della commutatività della moltiplicazione nel secondo caso. Così come si classificano le sezioni coniche in paraboliche, iperboliche ed elittiche basandosi sul discriminante $B 2 - A C$ , lo stesso può essere fatto per una EDP del secondo ordine.

se $B 2 - A C < 0$ l'equazione si dice ellittica. Le equazioni elittiche tendono a livellare ogni disturbo. La resistenza dell'aria a velocità subsoniche può essere modellata con EDP elittiche.
se $B 2 - A C = 0$ l'equazione si dice parabolica: le equazioni paraboliche tendono a mantenere i disturbi preesistenti nei dati, ma senza amplificarli. La resistenza dell'aria a mach 1 è rappresentativa delle EDP paraboliche.
se $B 2 - A C > 0$ l'equazione si dice iperbolica: le equazioni iperboliche tendono ad amplificare ogni disturbo nei dati. La resistenza dell'aria a velocità supersoniche può essere modellata con EDP iperboliche.

La classificazione di una EDP dipende esclusivamente dai coefficienti delle derivate di ordine massimo presenti nell'equazione stessa.

Questo metodo può essere facilmente esteso a sistemi di equazioni alle derivate parziali esaminando gli autovalori della matrice dei coefficienti. In questo caso, lo schema di classificazione diventa:

Ellittico: Gli autovalori sono tutti positivi o tutti negativi.
Parabolico : Gli autovalori sono tutti positivi o negativi, tranne uno uguale a zero.
Iperbolico : C'è almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo, e nessun autovalore è nullo.

Questo corrisponde all'analisi delle matrici definite positive e definite negative, in maniera analoga a quanto succede nella discussione dei massimi e minimi.

modifica Esempi

La matrice associata al sistema

u t + 2 v x = 0

v t - u x = 0

è la seguente

$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

Gli autovettori sono (0,1) e (1,0) con autovalori 2 e -1. Quindi il sistema è iperbolico.

Notiamo che, nonostante il sistema comprenda due equazioni del prim'ordine, può facilmente essere ricondotto a una coppia di equazioni disgiunte del second'ordine; in particolare ha senso classificarlo come iperbolico, nonostante questa definizione sembrerebbe in prima analisi non essere appropriata non trattandosi a prima vista di un'equazione di secondo grado.

Per ricavare l'equazione di secondo grado, deriviamo la prima equazione rispetto a x e la seconda rispetto a y, supponendo le funzioni sufficientemente regolari. Otteniamo

u t x + 2 v x x = 0

v t t - u x t = 0

da cui (supponendo le derivate seconde continue, cosicché commutino per il Teorema di Schwarz)

v t t - u x t = v t t + 2 v x x = 0

che altro non è che l'equazione delle onde.

modifica Bibliografia

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(FR) E. Goursat Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, à deux variables indépendantes (Hermann, Parigi, 1896)
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D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

modifica Voci correlate

35-XX sigla della sezione della MSC dedicata alle equazioni alle derivate parziali

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modifica Collegamenti esterni

(EN) PDE example problems at exampleproblems.com
(EN) Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
(EN) Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
(EN) Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

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