Equazione di Poisson.html
 
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In matematica, l'equazione di Poisson è un'equazione alle derivate parziali con vaste utilità in elettrostatica, ingegneria meccanica e fisica teorica. Il suo nome deriva dal matematico, geometra, fisico francese Siméon-Denis Poisson.

L'equazione di Poisson è

\Delta\varphi=f

dove Δ è l'operatore di Laplace, e f e φ sono funzioni reali o complesse su una varietà. Quanto la varietà è lo spazio euclideo, l'operatore di Laplace è spesso denotato con {\nabla}^2 e l'equazione di Poisson è scritta frequentemente come

{\nabla}^2 \varphi = f

In coordinate cartesiane in tre dimensioni prende la forma

\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

Per f nulla, questa equazione diventa l'equazione di Laplace

\Delta \varphi = 0. \!

Una soluzione dell'equazione di Poisson è data da:

\varphi(\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \int_V{\frac{f(\mathbf{x'})}{\mid \mathbf{x}-\mathbf{x'} \mid}dV}

integrata su x'.

La soluzione precedente è unica se valgono opportune condizioni al contorno. In particolare, se:

V = \mathbb{R}^3 \mbox{ e } f \ne 0 \mbox{ in una regione limitata}

allora la soluzione precedente è l'unica che rispetta la condizione:

\lim_{r \to \infty} \varphi (\mathbf{x}) \mid \mathbf{x}-\mathbf{y} \mid = costante < \infty

dove y è un punto arbitrario tale che:

f(\mathbf{y}) \ne 0.

L'equazione di Poisson può essere risolta usando una funzione di Green. Esistono vari metodi per trovare soluzioni numeriche. Il metodo di rilassamento, un algoritmo iterativo, è un esempio.

Indice

modifica Elettrostatica

Una delle basi dell'elettrostatica è la formulazione e la risoluzione di problemi che sono descritti da un'equazione di Poisson. Trovare φ per una data f è un importante problema pratico, poiché questo è il modo usuale per trovare il potenziale elettrico per una data distribuzione di cariche. Nelle unità SI:

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}

dove \Phi \! è il potenziale elettrico (in volt). \rho \! è la densità di carica (in coulomb su metri cubi), e \epsilon_0 \! è la costante dielettrica del vuoto (in farad per metro).

In una regione di spazio dove non ci sono densità di carica, si ha

\rho = 0, \,

e l'equazione per il potenziale diventa un'equazione di Laplace:

{\nabla}^2 \Phi = 0.

modifica Equazione di Poisson su un cerchio

L'equazione di Poisson può in teoria essere risolta analiticamente su qualsiasi dominio semplicemente connesso del piano complesso. Infatti il teorema di Weierstrass afferma che è possibile trasformare un dominio semplicemente connesso nel cerchio unitario tramite una trasformazione conforme biunivoca. Nel cerchio unitario l'equazione di Poisson ha soluzione in coordinate polari (ρ,φ):

u(\rho,\phi) = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2\pi} \tilde u(\theta) K(\theta,\phi,\rho)

con u(θ) la condizione al contorno sul cerchio unitario e

K(\theta,\phi,\rho) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \rho^{|n|}\exp(-in(\theta-\phi))

K può essere espresso in vari modi:

K(\theta,\phi,\rho) = \Re\frac{1+z e^{-i\theta}}{1-z e^{-i\theta}}

modifica Potenziale di una densità di carica gaussiana

Se esiste una densità di carica elettrica con simmetria sferica gaussiana ρ(r):

\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},

dove Q è la carica totale, allora la soluzione Φ (r) dell'equazione di Poisson è:

{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }

data da:

\Phi(r) = \frac{ 1} {4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

dove erf(x) la funzione errore. Questa soluzione può essere verificata esplicitamente da un calcolo di {\nabla}^2 \Phi. Si noti che, per r maggiore di σ, erf(x) tende all'unità e il potenziale Φ (r) tende al potenziale di una carica puntiforme \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r} come ci si aspetta.

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