Energia potenziale gravitazionale.html

Per approfondire, vedi la voce forza di gravità.

L'energia potenziale gravitazionale è l'energia che possiede un corpo ad una certa distanza da un altro corpo dovuta alla presenza della forza di gravità (per brevità qui sotto tralasceremo l'aggettivo gravitazionale). Essa è pari a:

$U(r)=-\frac{GMm}{r}$

Indice

1 Definizione
- 1.1 Corpi a simmetria sferica
2 Corpi vicini alla superficie terrestre
3 Voci correlate

modifica Definizione

La forza gravitazionale che un corpo di massa M esercita su un corpo di massa m è data da:

$\vec F=-\frac{GMm}{r^2}\hat r=-\frac{GMm}{r^3}\vec r$

con $\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ il vettore congiungente M e m e $\hat r$ il relativo versore. Poniamo per semplicità M nell'origine del sistema di riferimento, così che sia $\vec r=\vec r_1$ , e calcoliamo il lavoro della forza necessario per spostare il corpo di massa m tra due punti A e B, distanti dall'origine rispettivamente r_A e r_B:

$L_{AB}=\int_A^B-\frac{GMm}{r^2}\hat r\vec{ds}=-GMm\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2}=-\frac{GMm}{r_A}+\frac{GMm}{r_B} \qquad \qquad \qquad \qquad(\,\hat r\cdot \vec{ds}=dr\,)$

È fondamentale notare che il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni di partenza e arrivo del corpo, e per essere più precisi solo dalla distanza di m da M, cioè dal modulo del vettore $\vec r$ . Di conseguenza possiamo identificare (a meno di una costante, posta a zero per comodità) una funzione potenziale V dipendente solo dalla distanza dall'origine

$V(r)=\frac{GMm}{r}$

ed un'energia potenziale U

$U(r)=-\frac{GMm}{r}$

Osservazioni:

L'energia potenziale, come la forza, dipende solo dalla mutua distanza dei corpi. Se uno dei due è vincolato all'origine, l'altro sarà soggetto ad una forza centrale.
Nel caso di cui sopra le superfici equipotenziali saranno sfere centrate sull'origine. Infatti: $-\frac{GMm}{r}=K \Rightarrow r=-\frac{GMm}{K}$ cioè una costante positiva (K è minore di 0).
Con la scelta di porre la costante d'integrazione pari a 0, abbiamo imposto che l'energia potenziale sia sempre negativa. Nel caso in cui r tenda a $+\infty$ l'energia potenziale tende a 0.

modifica Corpi a simmetria sferica

Per approfondire, vedi la voce teorema di Gauss.

Vige un teorema fondamentale per i corpi a simmetria sferica: nella versione "dedicata" alla forza di gravità esso afferma che "una massa estesa dotata di simmetria sferica genera al suo esterno lo stesso campo gravitazionale generato da un oggetto puntiforme di pari massa disposto al centro della sfera". A causa della stessa forma delle funzioni delle forze elettriche e gravitazionali, lo stesso teorema si applica quasi identicamente in elettrostatica.

Il teorema di Gauss implica la possibilità di modellizzare, con buona approssimazione, la forza che un pianeta (o una stella, o un qualunque oggetto a simmetria sferica) esercita su un corpo nel suo campo gravitazionale come se la sorgente del campo fosse puntiforme, e di usare quindi le classiche formule della forza e dell'energia potenziale anche nel caso di corpi estesi radialmente simmetrici.

modifica Corpi vicini alla superficie terrestre

Per corpi vicini alla superficie terrestre (entro la decina di km da terra) è possibile approssimare l'accelerazione gravitazionale con il suo sviluppo di Taylor all'ordine 0, cioè con il valore costante g che la forza assume sulla superficie terrestre. Poniamoci in un sistema di riferimento cartesiano (O,x,y,z), con $\hat z$ versore dell'asse z. La superficie terrestre si trova, per definizione, ad un raggio terrestre r_T di distanza dal centro della Terra; naturalmente sia l'accelerazione di gravità che il raggio terrestre sono quantità medie. Otteniamo:

$F(x,y,z)=-m\cdot \frac{GM}{r^2_T}\hat z + \mathcal{O}(r) \hat z=-mg\hat z +\mathcal{O}(r) \hat z \approx -mg\hat z$

dove $g=\frac{GM}{r^2_T}$ il termine $\mathcal{O}(r) \hat z$ indica i termini dello sviluppo dipendenti dalla distanza dal centro della terra, e viene trascurato. Integrando si ricava la funzione potenziale:

$V(x,y,z)=-mgz+cost\,$

da cui l'energia potenziale

$U(x,y,z)=U(z)=mgz+cost.\,$

Si nota come il potenziale cresca all'aumentare della quota. Anche in questo caso è possibile porre a 0 la costante in modo da rendere nulla l'energia potenziale alla quota di riferimento z = 0.

modifica Voci correlate

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