Energia potenziale.html

L'energia potenziale di un corpo è una funzione scalare dello spazio (delle coordinate nel sistema di riferimento considerato), usualmente indicata con $U (x 1, x 2,...)$ , e rappresenta la capacità di compiere lavoro che il corpo possiede in virtù della sua posizione all'interno di un campo di forze conservative. L'energia potenziale è pari al potenziale scalare $V (x 1, x 2,...)$ cambiato di segno: $U = - V$ ed e` una funzione di stato.

In un campo di forze conservative se il corpo si sposta da un punto A (definito da un vettore posizione r_A) ad un punto B (definito da r_B), le forze del campo compiono su di esso un lavoro definito da

$L = - \Delta U = -[U(\mathbf r_B) - U(\mathbf r_A)]$ .

Tale lavoro non dipende dal particolare percorso seguito ma solo dalla posizione di A e B.

L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva. In altri termini è possibile fissare arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale in corrispondenza di particolari posizioni r; questo non dà luogo ad alcuna ambiguità, poiché il lavoro è definito in termini di variazioni di energia potenziale (la quale dipende solo dalla posizione r) e la forza come gradiente.

modifica Sistemi ad un grado di libertà

Per sistemi ad un grado di libertà l'energia potenziale di una forza conservativa è pari ad una primitiva della forza, cambiata di segno:

$F(x)=\frac{dV(x)}{dx}=-\frac{dU(x)}{dx}$

$U(x)=-\int_{x_0}^xF(\xi )d\xi + U(x_0)$

Il valore dell'energia potenziale in $x 0$ è definito arbitrariamente.

modifica Sistemi a più gradi di libertà

Nel caso di più gradi di libertà (es. una particella nello spazio tridimensionale) prima di poter calcolare l'energia potenziale bisogna essere sicuri che la forza sia gradiente di un potenziale scalare. Se il dominio è stellato, una condizione sufficiente e necessaria è data dal lemma di Poincaré.

Una volta garantita l'esistenza si risale all'energia potenziale tramite un'integrazione su un cammino tridimensionale, che per comodità il più delle volte è una spezzata: infatti caratteristica dei campi conservativi è che il lavoro della forza tra due punti O e P non dipende dalla curva su cui si calcola l'integrale. Abbiamo:

$F(x,y,z)=\nabla V(x,y,z)=-\nabla U(x,y,z)$

$U(x,y,z)=-\int_{O}^{P}\vec F \cdot \vec {ds}+cost$

In particolare lungo una spezzata con i segmenti paralleli agli assi cartesiani:

$U(x,y,z)=-\int_0^x\vec F(\tau, 0, 0)\cdot \vec e_1 d\tau -\int_0^y\vec F(x, \tau, 0) \cdot \vec e_2 d\tau -\int_0^z\vec F(x,y,\tau)\cdot \vec e_3 d\tau +cost$

dove il punto O=(0,0,0) è stato scelto arbitrariamente, come nel caso unidimensionale, e $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$ sono i versori canonici di $\mathbb {R}^3.$

modifica Esempi di campi conservativi

Elenchiamo qui di seguito alcune forze conservative, che ammettono una funzione energia potenziale:

la forza di gravità ammette un'energia potenziale gravitazionale.
- Un corpo di massa m, in prossimità della superficie terrestre, posto ad un'altezza h rispetto ad una quota di riferimento scelta arbitrariamente, ha un'energia potenziale $U (h) = m g h$
  essendo g (9,81 m/s²) l'accelerazione di gravità.
- Se la distanza di un corpo di massa m dalla superficie terrestre (o di qualunque altro corpo celeste) è tale da non poter trascurare le variazioni della forza gravitazionale con la distanza, allora l'energia potenziale ad una distanza r dal centro del corpo celeste è definita da $U(r) = -G \, \tfrac {Mm}{r}$
  dove G è la costante di gravitazione universale e M la massa della terra o del corpo celeste. In quest'ultima il livello di zero di U è posto a distanza infinita dal corpo celeste; di conseguenza i valori di U sono sempre negativi.
la forza di Coulomb ammette un'energia potenziale elettrica; una carica q posta a distanza r dalla carica Q generatrice del campo, possiede un'energia potenziale $U(r) = \tfrac{1}{4 {\pi} {\epsilon_0}} \tfrac{Qq}{r}$ , essendo ε_o la costante dielettrica del vuoto. Nello studio dei fenonemi elettrici è tuttavia di uso più frequente il potenziale elettrico, definito come energia potenziale per unità di carica elettrica: $V=\tfrac{U}{q}$
la forza elastica ammette un'energia potenziale elastica se segue la legge di Hooke $F = - k x$ (essendo k la costante elastica della molla e x l'allungamento o accorciamento). In tale caso l'energia potenziale è $U(x) = \tfrac {1}{2}\, {k} {x}^2$

modifica Esempio di calcolo di un potenziale

Segue un esempio riguardante il calcolo della funzione potenziale a partire dalla forza agente su un punto materiale nello spazio tridimensionale in coordinate cartesiane.

Data una forza $\vec F=(2xy-\sin(yz),x^2-xz\cos (yz) ,-xy\cos(yz)+3e^z)$ agente su un punto materiale di massa m, calcolare il lavoro della forza lungo la curva $Γ$ parametrizzata da $\lambda(t)=(t^2-4, \sin(t), \frac{1}{1+t^2/\pi^2})$ con $t\in [0:\pi]$ .

Il calcolo del lavoro tramite integrale curvilineo sembra essere un'impresa proibitiva: controlliamo dunque se può esistere una funzione potenziale associata alla forza F. La forza è definita su tutto $\mathbb{R}^3$ : per il lemma di Poincaré se il campo è irrotazionale esiste una funzione potenziale associata. Calcoliamo il rotore di F:

$\operatorname{rot}(\vec F)=\hat i(-x\cos(yz)-xyz\sin(yz)+x\cos(yz)+xyz\sin(yz))+\hat j(-y\cos(yz)+y\cos(yz))+\hat k(2x-z\cos(yz)-2x+z\cos(yz))=0$

Il campo è quindi conservativo: ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria del corpo. Calcoliamo la funzione potenziale (poniamo la costante d'integrazione a zero):

$V(x,y,z)=\int_0^x\vec F(\tau, 0, 0)\cdot \vec e_1 d\tau +\int_0^y\vec F(x, \tau, 0) \cdot \vec e_2 d\tau +\int_0^z\vec F(x,y,\tau)\cdot \vec e_3 d\tau=$

$=\int_0^x(2\tau \cdot 0+0)d\tau+\int_0^y(x^2-0)d\tau+\int_0^z\left(-xy\cos(y\tau)+3e^\tau \right)d\tau=x^2y-x\sin(yz)+3e^z$

Chiamando $A = λ(0) = ( - 4,0,1)$ e $B = λ(π) = (π 2 - 4,0,1 / 2)$ , abbiamo che il lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria $Γ$ è pari a:

$L_{\Gamma}=V(B)-V(A)=3(\sqrt{e}-1)$

Inoltre, se la forza F è l'unica forza presente, si conserva l'energia meccanica del sistema E, data da:

$E=T+U=T-V=\frac{1}{2}\left( \dot x^2+\dot y^2+\dot z^2\right)-x^2y+x\sin(yz)-3e^z=cost$

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