Centro di massa.html

Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa

Si definisce centro di massa di un sistema (discreto) di N punti materiali il punto geometrico le cui coordinate, in un dato sistema di riferimento, sono date da:

$\mathbf R = \frac{m_1 \mathbf r_1 + m_2 \mathbf r_2 + \cdots + m_N \mathbf r_N}{M}$ = $\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i}$

dove M = m₁ + m₂ + ... + m_N è la massa totale del sistema e le quantità r_i sono i raggi vettori dei punti materiali rispetto al sistema di riferimento usato.

Nel caso di un sistema continuo le sommatorie sono sostituite da integrali estesi al dominio occupato dal sistema. Introducendo la funzione scalare "densità", definita come:

$\rho(\mathbf r) = \frac{\operatorname{d}m}{\operatorname{d}V}$

la posizione del centro di massa è data da:

$\mathbf R = \frac{1}{M}\int_{M} \mathbf r\, \operatorname{d}m = \frac{1}{M}\int_{V} \mathbf r \rho(\mathbf r) \operatorname{d}V$

con:

$M = \int_M \operatorname{d}m = \int_V \rho(\mathbf r)\operatorname{d}V$

Se il sistema continuo è omogeneo allora ρ(r) = costante.

La definizione qui riportata per il cento di massa risulta essere un caso particolare della definizione più generale delle coordinate del punto di applicazione di un sistema di forze parallele (vedi ad esempio Bibliografia Brini).

Come dice il nome, il significato di questa grandezza è quella di centro delle masse. Un principio fondamentale della dinamica dei sistemi di punti materiali (prima equazione cardinale) dice che il centro di massa di un sistema ha lo stesso moto di un singolo punto materiale in cui fosse concentrata tutta la massa del sistema, e su cui agisse la risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema. Questa proprietà vale sotto l'unica ipotesi che per le forze interne (quelle cioè che rappresentano l'interazione fra i punti costituenti il sistema) valga il principio di azione e reazione. Come caso particolare, quando sul sistema non agiscono forze esterne (cioè quando il sistema è isolato), ne consegue la conservazione della quantità di moto totale. La quantità di moto totale di un sistema è infatti uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del centro di massa:

$\mathbf P = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf v_i = \frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf r_i = M \frac{\operatorname{d}\mathbf R}{\operatorname{d}t}$

Nel continuo:

$\mathbf{P}=\int_M \mbox{d} m \mathbf v = \int_V \rho \mathbf v \mbox{d}V$

Esempio: calcolo del centro di massa di una semisfera

Vogliamo calcolare il centro di massa di una semisfera di densità omogenea con base poggiata sul piano XY e di raggio R.

Per prima cosa scegliamo un sistema di riferimento che ci semplifichi i calcoli: ad esempio un sistema di riferimento cartesiano con origine nel centro del cerchio di base, o un sistema di riferimento con coordinate sferiche. Qui sotto è illustrato il calcolo usando un sistema di riferimento cartesiano: Sfruttando le simmetrie del corpo possiamo anticipare che l'integrale che fornisce la coordinata $x C M$ sarà zero, poiché

$\int_{-R}^{R} r(x) \operatorname{d}x = 0$

Analogamente per la coordinata $y C M$

$\int_{-R}^{R} r(y) \operatorname{d}y = 0$

Il calcolo si riduce quindi a:

$\frac{1}{M} \int \rho z dV = \frac{\rho}{M} \int z \operatorname{d}V$

Il volume V al variare di z è dato da

$V(z)= \int{\pi}\left({R^2}-{z^2}\right)\operatorname{d}z ={\pi}{R^2}z-{\pi}\frac{{z^3}}{3}$

Sostituendo $dV = \frac{dV}{dz} dz$ nell'integrale otteniamo la coordinata in z del centro di massa:

$z_{CM}= \frac{\rho}{M} \int z dV =$

$= \frac{\rho}{\rho \frac23 \pi R^3} \int_{0}^{R} z \pi \left(R^2-z^2 \right) dz = \frac{3R}{8}$ .

modifica Centro di massa e baricentro

Il centro di massa è comunemente detto baricentro. Questo nome (che etimologicamente significa centro del peso) deriva dal fatto che quando un corpo è immerso in un campo di gravità uniforme (come avviene, con buona approssimazione, sulla superficie terrestre, dove l'accelerazione di gravità si può ritenere costante), allora il moto del baricentro è equivalente al moto di caduta, sotto l'azione della forza peso, di un punto materiale in cui fosse concentrata la massa totale del corpo. Se, in particolare, si considera un corpo rigido vincolato in un punto diverso dal baricentro (nel baricentro il momento totale della forza peso risulta nullo), esso si comporta come un pendolo (la cui lunghezza equivalente, tuttavia, non coincide con la distanza fra baricentro e centro di sospensione, ma dipende dal momento d'inerzia del corpo).

È da notare che nel caso (che difficilmente si presenta in pratica) in cui un corpo sia immerso in un campo gravitazionale esterno non uniforme, allora queste ultime proprietà non valgono, poiché la risultante delle forze (che determina l'accelerazione del centro di massa, come si è detto) può differire dalla forza peso che si eserciterebbe sul baricentro se in esso fosse concentrata tutta la massa del corpo; inoltre, il momento totale della forza di gravità rispetto al centro di massa può non essere nullo. Ciononostante, nel linguaggio scientifico i termini "centro di massa" e "baricentro" sono usati come sinonimi a tutti gli effetti, ed entrambi si riferiscono alle proprietà inerziali del sistema, indipendentemente dalla natura delle forze applicate.

modifica Moto dei corpi

In molti casi di interesse fisico, il moto di un sistema di punti si può scomporre nel moto del centro di massa e nel moto dei punti relativo al centro di massa. Ad esempio, nel caso di sistemi isolati la conservazione della quantità di moto implica l'esistenza di un sistema di riferimento inerziale in cui il centro di massa resta in quiete. Nel classico problema dei due corpi, in cui due punti materiali interagiscono reciprocamente (in assenza di forze esterne), si dimostra che il moto di ciascuno dei due punti è equivalente a quello di un punto immerso in un campo di forze centrali, con origine nel centro di massa del sistema. Una definizione alternativa di centro di massa può essere desunta dal secondo teorema di König, che esprime la relazione tra l'energia cinetica misurata in un sistema inerziale S e un sistema con origine nel c.d.m.:

$K_S = K_{CM} + \frac{1}{2}Mv_{CM}^2$

Da ciò discende che, in generale, K_S ≥ K_CM, ovvero che l'energia cinetica del sistema, misurata in un sistema solidale con il c.d.m., è minima.

Quando il sistema di punti costituisce un corpo rigido, l'energia cinetica del sistema si può rappresentare come somma dell'energia cinetica traslazionale (uguale alla metà della massa totale del sistema per il quadrato della velocità del centro di massa) più l'energia cinetica dovuta alla rotazione del corpo intorno al suo centro di massa (che si calcola conoscendo la velocità angolare e il tensore d'inerzia del corpo).

Nel caso di problemi di urto fra particelle, descrivere il moto nel sistema di riferimento del centro di massa può semplificare considerevolmente i calcoli.

Nel contesto della meccanica relativistica, invece, la nozione di centro di massa perde di significato fisico perché non è invariante rispetto a cambiamenti di riferimento inerziale. Infatti il centro di massa in un dato istante è definito, come si è visto, come media pesata delle posizioni di tutti i punti nel medesimo istante; ma una trasformazione di Lorentz cambia lo spazio degli eventi simultanei, e per due osservatori inerziali il centro di massa del sistema sarà in generale diverso. È invece possibile definire un sistema di riferimento in cui l'impulso totale del sistema è nullo, e per un sistema non soggetto a forze esterne questo è ciò che corrisponde alla nozione non-relativistica di "sistema di riferimento del centro di massa" sopra citata.

modifica Voci correlate

modifica Bibliografia

D. Brini, O. Rimondi, P. Veronesi, "Guida alla risoluzione dei PROBLEMI DI FISICA", Pàtron
Feynman, Richard, Six Easy Pieces, Perseus Publishing, 1996. ISBN 0-201-40825-2

Feynman, Richard; Phillips, Richard, Six Easy Pieces, Perseus Publishing, 1998. ISBN 0-201-32841-0

Feynman, Richard, Lectures on Physics, Perseus Publishing, 1999. ISBN 0-7382-0092-1

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M., Mechanics Course of Theoretical Physics , Vol. 1, Franklin Book Company, Inc., 1972. ISBN 0-08-016739-X

Kleppner, D. and Kolenkow, R. J., An Introduction to Mechanics, McGraw-Hill (1973). ISBN 0-07-035048-5
Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press (2001). ISBN 0-262-19455-4}
Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko, Classical Mechanics (3rd Edition), Addison Wesley; ISBN 0-201-65702-3
Robert Martin Eisberg, Fundamentals of Modern Physics, John Wiley and Sons, 1961
M. Alonso, J. Finn, "Fundamental university physics", Addison-Wesley

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